歷經1935960小時，我們破解了自行車平衡的奧秘

這天，同事給小編發了段視頻，說要考考小編。

來源：嗶哩嗶哩@TheQ手工

“怎么把輪子拆開就不能平衡了呢？”

自行車的問題，能難倒我小·十二年騎車老司機·編？

要知道這種自行車為啥不能平衡，那我們只要從普通自行車為啥能平衡來分析就可以。

普通自行車能保持平衡，不就是因為。。。

因為啥呢？

如果說怎么控制自行車平衡，這個問題小編可太知道了，寫篇論文都沒問題。

但為什么自行車能平衡？

難道小編這么多年騎了個假的自行車？

帶著問題，小編試圖查資料找到答案。這一查還嚇一跳，原來自行車平衡的問題已經困擾了科學界上百年之久，還真不簡單。

Part.1

自行車：我賭你不懂我的平衡

據說最早的自行車，是1790年，一個法國人覺得四輪馬車太占地方，于是一拍腦袋直接去掉一半，只留了兩個輪，這就有了自行車的雛形。

Wooden draisine，約在1820年出現的一種早期自行車，動力完全來源于腳蹬地，但是可以控制前輪轉向 | 來源：參考資料4

經過幾百年的發展，自行車經過各種奇奇怪怪的設計，最終成為現在大家常見的形狀。

就是這樣一種大家都十分熟悉的交通工具，卻讓科學家們犯了難。

如果問空調調控溫度的原理，科學家們可以給你講講卡諾循環。

逆卡諾循環制冷圖示意圖 | 來源：benchmark-id.com

如果問遙控器的原理，科學家們可以從紅外線與編碼序列來講。

紅外線探測器 | 來源：百度圖片

但是自行車作為一種生活經驗產物，發明的時候就沒有考慮過為什么能平衡，當后人試圖對其解析時，卻發現了一個又一個的問題。

為什么只有騎起來之后才能維持不倒呢，速度在其中起了什么樣的作用？將自行車用力推出去，自行車沒有人控制也能保持平衡，這又是為什么呢？

成熟的自行車應該學會自己行駛 | 來源：參考文獻3

在自行車發明的百年之后，英國數學家弗朗西斯?惠普爾(Francis Whipple)推導出了惠普爾模型，這個模型用四個剛體來代表自行車，引入了質量、車輪半徑等25種參數來描述自行車的運動狀態，是世界上最早也最經久不衰的自行車模型之一。

惠普爾模型，將自行車的運動用R、B、H、F四個剛體運動來描述 | 來源：參考文獻1

可惜的是這個模型只為我們提供了模擬的方法，而沒有指出其背后的原理。

Part.2

索末菲等：陀螺效應可解

時間來到20世紀，自行車平衡問題懸而未決，吸引了大量的科學家關注，其中就有一位我們物理界的老熟人阿諾德·索末菲（Arnold Sommerfeld）。

阿諾德·索末菲，著名物理學家，量子力學與原子物理學開山始祖之一，發現了精細結構常數。| 來源：百度圖片

他和另外兩位科學家：費利克斯 · 克萊因（Felix Klein）和弗里茨 · 諾特(Fritz Noether)共同提出了一種解釋——陀螺效應。

什么是陀螺效應呢？

陀螺效應其實是角動量定理的表現，在外力矩作用下，旋轉物體角動量改變，產生進動角動量。也就是說，陀螺效應作用下，轉動的物體不會直接倒下，而是發生轉動方向的改變。

小時候應該都玩過陀螺吧，陀螺旋轉過程中，會繞著一個自轉軸進行自轉，同時這個自轉軸還會繞著一個垂直軸進行旋轉，這種轉動物體的自轉軸同時進行旋轉的現象就叫做進動。

來源：嗶哩嗶哩《盜夢空間》

陀螺的進動狀態十分穩定，即使施加一定的外力也可以保持平衡，這就是陀螺效應。像陀螺儀就是利用了陀螺效應，可以維持很大質量的物體不倒。

輪子在陀螺效應作用下維持自身穩定 | 來源：嗶哩嗶哩@NASA中文同步

其實上面這張動圖已經說明得非常清楚了，在陀螺效應作用下，輪子克服了重力，形成了進動，通過改變方向維持了自身的平衡。

這種平衡狀態與車輪的速度有關，速度越快，車輪的傾角越小，車身越穩定。所以我們在騎車時會發現騎得越快越容易保持平衡。

現在回過頭來看一開始的問題，這種車為什么不能平衡呢？

把前輪拆開之后，同一時間只有三分之一的部分能與地面接觸，其它的部分沒有直接的外力矩作用，無法形成進動，沒有陀螺效應使其保持穩定。

Part.3

瓊斯：還得看“轉向輪后傾”

其實到目前為止，陀螺效應解釋了開頭的問題，已經很好地說服了小編。

你以為這就結束了？NO！

在索末菲等人提出陀螺效應解釋60年后，一個叫作大衛 · 瓊斯（David Jones）的化學家發表了篇文章，跳出來推翻了陀螺效應解釋。

上面不是說陀螺效應適用于常見的車型嗎？瓊斯說，那我就設計一款不適用的自行車。于是就有了下面圖片里的這輛車。

來源：參考文獻3

這輛自行車，它有一大一小兩個前輪，通過大小前輪之間的傳動，讓兩個前輪向相反的方向旋轉。再通過控制大小比例關系，就可以做到兩個前輪的角動量大小相等、方向相反，即完全抵消！

角動量都沒了，哪里還有陀螺效應？這不就證明了用陀螺效應來解釋自行車平衡問題是錯誤的。

當然瓊斯也不是只管推翻不管重建的人，他提出了一個新的理論——轉向輪后傾效應（the Caster Effects）。

在這個理論中，有一個重要的概念：前輪軌跡（the trail）。前輪軌跡指的是前輪轉向軸延長線與地面交點和前輪與地面接觸點之間的距離。如果轉向軸交點在接觸點之前，前輪軌跡為正；反之則為負。

紅線標出的c即是前輪軌跡

瓊斯指出，當自行車開始傾倒時，正的前輪軌跡會讓自行車的前輪在重力作用下發生后傾，帶動車頭發生轉向，自行車通過這個轉向，將重心回到車體中間，回歸平衡狀態。

前輪軌跡越長，自行車也就越穩定（雖然也會越難騎）；而負的前輪軌跡則會讓自行車無法維持平衡。

用藍線表示轉向軸的延長線，黑線表示地面

這時候再回到我們開局的問題，車輪拆成三份之后，過長的前輪使得車的前輪軌跡在大部分時間都變成了負的，因此就無法維持平衡。

Part.4

施瓦布等：你們說的都對，但...

這么看來，通過“前輪軌跡”確實可以非常方便地判斷和解釋自行車的平衡問題。

瓊斯也對自己提出的這一理論非常自豪。在40年后出版的回憶錄中，他將這一理論視為自己的偉大成就之一，并宣稱：“我現在被譽為現代自行車理論之父”。

I am now hailed as the father of modern bicycle theory.

——David Jones

但是，科學界最不缺少的就是反轉。

在瓊斯的回憶錄出版的第二年（2011年），一篇發表在Science雜志上的文章橫空出世，題為“A Bicycle Can Be Self-Stable Without Gyroscopic or Caster Effects”（自行車可以在沒有陀螺效應和轉向輪后傾效應作用下保持自穩定）。

這篇文章的研究團隊做的事情與瓊斯一脈相承：設計一款排除上述效應后仍可維持穩定的自行車。

瓊斯的轉向輪后傾理論中，前輪是在重力作用下發生的后傾，那就將整個車體的重量進行重新分布，抵消掉負的前輪軌跡的影響。再消除陀螺效應影響，就有了下面這款自行車。

來源：參考文獻1

前后輪設計成了上下兩個輪子，這兩個輪子轉向相反，角動量互相抵消；轉向軸延長線與地面交點在輪子與地面接觸點之后，前輪軌跡為負。

按上面提到兩種理論，這種車是無法維持平衡的，但是...

這輛車不止平衡了，還非常穩定。

文章作者解釋道，通過將車子重心提前，可以抵消掉負的前輪軌跡帶來的影響，這樣在傾倒時，前輪依然會后傾帶動車子轉向，使車子的重心回到中間，恢復平衡。

這也就是自行車維持平衡的第三種方法——改變質量分布。

但是這篇文章并不是在否定前兩種解釋。

這也是這篇文章突破性的一點。它認為，陀螺效應、轉向輪后傾效應以及文中提到的改變質量分布三種理論都能解釋自行車的平衡問題，是自行車平衡的充分不必要條件。

細心的讀者可能已經發現了，三種理論中都有共同的一點：將車身的傾倒變為轉向。這就是自行車能維持平衡的根本原因。

當滿足上述三條理論中任意一條時，就可以推斷出車子能保持平衡；而當這三條都不滿足時，只要能做到將車身的傾倒變為轉向，車子也可以保持平衡。

Part.5

后輪：還有人記得我嗎？

至此，自行車平衡問題算是得到了解決，但是沒有完全解決。

我們知道了自行車維持平衡的根本原因是將傾倒變成轉向，也知道了三種可以實現這種轉變的理論以及相應的自行車設計。

但我們仍不知道會不會有更多的理論可以實現這種轉變，也不知道會不會有一種理論可以達成自行車平衡的充分必要解。我們仍缺少一種關于自行車平衡的“大一統理論”。

哦對了，提醒一下大家不要忘記了后輪。雖然它在三種理論中都沒什么存在感（也確實跟它沒有關系），但它仍是自行車不可缺少的一部分，少了它，自行車就不能...獨輪車也能騎？那沒事了。

回到開頭的問題，那個自行車不能平衡的問題解決了嗎？

解決了，UP將前輪回歸了完整。

參考文獻:

1. Borrell, B. The bicycle problem that nearly broke mathematics. Nature 535, 338–341 (2016).

2. Kooijman JD, Meijaard JP, Papadopoulos JM, Ruina A, Schwab AL. A bicycle can be self-stable without gyroscopic or caster effects. Science. 2011 Apr 15;332(6027):339-42.

3. https://mp.weixin.qq.com/s/Z7c5lJJhnG_Hvq-aSnHxDw?scene=25#wechat_redirect

4. https://encyclopedia.thefreedictionary.com/bicycle來源：中科院物理所

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